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三角形數

一定數目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，這樣的數被稱為三角形數。比如10個點可以組成一個等邊三角形，因此10是一個三角形數：

 　　　　ｘ

　　　ｘ　ｘ

　　ｘ　ｘ　ｘ

　ｘ　ｘ　ｘ　ｘ

一開始的18個三角形數是1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120、136、153、171……（OEIS中的數列A000217）

第n個三角形數的公式是:

1.第n個三角形數是開始的n個自然數的和。

2.所有大於3的三角形數都不是質數。

3.開始的n個立方數的和是第n個三角形數的平方（舉例：1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10的平方）

4.所有三角形數的倒數之和是2。

5.任何三角形數乘以8再加1是一個平方數。

6.一部分三角形數（3、10、21、36、55、78……）可以用以下這個公式來表示：n * (2n + 1)；而剩下的另一部分（1、6、15、28、45、66……）則可以用n * (2n - 1)來表示。

7.一種檢驗正整數x是否三角形數的方法，是計算：

如果n是整數，那麼x就是第n個三角形數。如果n不是整數，那麼x不是三角形數。這個檢驗法是基於恆等式8Tn + 1 = S2n + 1.

特殊的三角形數

55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形數。

第11個三角形數（66）、第1111個三角形數（617,716）、第111,111個三角形數（6,172,882,716）、第11,111,111個三角形數（61,728,399,382,716）都是迴文式的三角形數，但第111個、第11,111個和第1,111,111個三角形數不是。

與其他數的關係

四面體數是三角形數在立體的推廣。

兩個相繼的三角形數之和是平方數。

三角平方數是同時為三角形數和平方數的數。

三角形數屬於一種多邊形數。

所有偶完美數都是三角形數。

任何自然數是最多三個三角形數的和。高斯發現了這個規律。他在1796年7月10日在日記中寫道：EYPHKA! num = Δ

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