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完全數

完全數，又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然數：它所有的真因數（即除了自身以外的約數）的和（即因數函數），恰好等於它本身。

例如:第一個完全數是6，它有約數1、2、3、6，除去它本身6外，其餘3個數相加，1＋2＋3＝6。第二個完全數是28，它有約數1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其餘5個數相加，1＋2＋4 + 7 + 14＝28。後面的數是496、8128。

古希臘數學家歐幾里得是通過 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) 的表達式發現頭四個完全數的。

當 n = 2:   2¹(2² − 1) = 6

當 n = 3:   2²(2³ − 1) = 28

當 n = 5:   2⁴(2⁵ − 1) = 496

當 n = 7:   2⁶(2⁷ − 1) = 8128

一個偶數是完美數，當且僅當它具有如下形式：2^{n − 1}(2ⁿ − 1)，此事實的充分性由歐幾里得證明，而必要性則由歐拉所證明。

其中2ⁿ − 1是質數，上面的6和28對應着n=2和3的情況。我們只要找到了一個形如2ⁿ − 1的質數（即梅森質數），也就知道了一個偶完美數。

儘管沒有發現奇完全數，但是當代數學家奧斯丁·歐爾證明，若有奇完全數，則其形式必然是12p + 1或36p + 9的形式，其中p是質數。在10¹⁸以下的自然數中奇完全數是不存在的。

首十個完全數是： 6，28, 496, 8128, 33550336(8位), 8589869056(10位), 137438691328(12位), 2305843008139952128(19位),2658455991569831744654692615953842176(38位)及 191561942608236107294793378084303638130997321548169216(55位) (OEIS:A000396)

古代數學家根據當時已知的四個完全數做了很多假設，大部分都是錯誤的。其中的一個假設是：因為2，3，5，7恰好是頭4個質數，第五個完全數應該是第五個質數即當n＝11的時候，可是 並不是質數。因此n＝11不是完全數。另外兩個錯誤假設是：

• 頭四個完全數分別是1，2，3，4位數，第五個應該是5位數。
• 完全數應該是交替以6或者8結尾。

而事實上，第五個完全數33550336 = 2¹²(2¹³ - 1)，是8位數。對於第二個假設，第五個完全數確實是以6結尾，但是第六個完全數8 589 869 056仍是以6結尾，應該說完全數只有以6和8結尾才對。